Som et ledd i Tors onde plan om å øke dannelsen til den jevne leser, så har han overtalt meg til å skrive et innlegg som forhåpentligvis kan virke dannende. Senere har jeg kanskje tenkt å poste sporadiske innlegg som sannsynligvis ikke er fullt så dannende, men derimot kraftig unionsvennlige i dette nådens år 2005. Men først dannelsen:

Over døra til Platons akademi sto det at folk (frie menn som hadde tid til å gå på skole) bare kunne glemme å komme inn der dersom de ikke hadde litt peiling på geometri. Da Platon til tider ikke var fullt så tøysete som Aristoteles, så tar vi hans ord til ettertanke i denne dannelsesuka og slenger opp en kort innføring i denne edle gren av matematikken.

Euklid var en snodig skrue som hadde litt peiling på geometri, og kastet opp fem postulater (påstander som var så åpenbare at ingen i hele verden burde finne på å prøve å bevise dem). Mange mente at Euklids postulater var alt man trengte å vite om geometrien (dette er selvfølgelig langt fra sannheten, men de visste nok ikke bedre i antikken). I dag skal vi kun bruke Euklids første postulat:

Euklid I: For hvert punkt P og hvert punkt Q forskjellig fra P finnes det kun én linje gjennom P og Q.

Dette, i tillegg til noen enkle forestillinger om linjer (rette linjer) og punkter, er alt vi trenger for å bevise en enkel og intuitiv hypotese i geometrien: To forskjellige linjer l og m som ikke er parallelle skjærer hverandre i kun ett punkt

Dette kan gjøres på to måter, lekmannsmetoden og matematikermetoden. Vi begynner med matematikermetoden:

1. Da l og m ikke er parallelle har de minst ett punkt felles. Dette følger direkte fra definisjonen av parallelle linjer (Parallelle linjer er linjer som ikke har noen punkt felles).

2. Følg med, for her kommer trikset i beviset. Vi antar at l og m har to forkjellige punkter A og B til felles. Den våkne leser vil kanskje reagere, da dette er omtrent det motsatte av det vi skulle bevise, men dette er et lurt matematikertriks.

3. Da l og m er forskjellige linjer (dette følger jo direkte fra hypotesen vår) ligger både A og B på mer enn én linje, noe som er i klar strid med Euklids første postulat.

4. Nå har vi altså klart å ende opp i stry, fordi man kan ikke uten videre ta opp kampen med Euklids postulater. Det finnes to utveier: enten så er l og m samme linje, eller også skjærer l og m hverandre i kun ett punkt.

5. Da vi hadde bestemt at l og m er to forskjellige linjer (dette er lov, da man ut i fra en del andre postulater kan bevise at det finnes mer enn én linje i verden), må de skjære hverandre i kun ett punkt. q.e.d.

En uerfaren matematiker vil kanskje si at vi kun har motbevist at l og m kan ha to felles punkter; hva med tre eller fire eller mange? Fortvil ikke, for da gjennomfører vi samme argumenter som oven for hvert punktpar, inntil vi sitter igjen med kun ett punkt.


Lekmannsmetoden:

Vi tegner to linjer som skjærer hverandre. Så setter vi en ring rundt skjæringspunktet og sier: ”Se her! Bare ett punkt.” Dette kan utdypes med: ”Alle ser jo at hvis vi har flere punkter så kan ikke linjene være rette”


Mens lekmannsmetoden uten tvil tar mindre plass, og er mer intuitiv for mannen i gata (gitt at han ikke er en gatematematiker) så gir den deg ikke gratis inngang på Platons akademi. Velg selv.